Dans un repère orthonormé

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . On donne les points \(\text A(1~;~0~;~0)\) , \(\text B(0~;~1~;~0)\) , \(\text C(0~;~0~;~1)\) , \(\text D(0~;~2~;~0)\) et \(\text E(1~;~1~;~1)\) .

1. Soit \(\text M\) le milieu du segment \([\text A\text B]\) . Justifier que \(\text M\left(\dfrac12~;~\dfrac12~;~0\right)\) .

2. Calculer les produits scalaires suivants.
    a.  \(\overrightarrow{\text A\text B} \cdot \overrightarrow{\text A\text C}\)
    b.  \(\overrightarrow{\text A\text E}\cdot \overrightarrow{\text A\text D}\)   
    c.  \(\overrightarrow{\text O\text E}\cdot \overrightarrow{\text C\text M}\)

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . On donne les points \(\text A(4~;~1~;-2)\) , \(\text B(-1~;~2~;~4)\) , \(\text C(0~;~2~;-5)\) et \(\text D\left(1~;-2~;-\dfrac72\right)\) .
Soit \(\text M\) le milieu du segment \([\text A\text B]\) .
Calculer les produits scalaires suivants.

1.  \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C}\)

2.  \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text C\text D}\)

3.  \(\overrightarrow{\text D\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C}\)  

4.  \(\overrightarrow{\text M\text B}\cdot \overrightarrow{\text C\text D}\)